like-math: Bài toán đạo hàm hàm số căn bậc n

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm của hàm số căn bậc n ( $n \in \mathbb{N}, n \geq 1$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y= \sqrt[5]{x-3} \\[4pt]$ trên tập xác định của nó ?

Lời giải (sai):

* Tập xác định: $D= \mathbb{R}$

* Ta có: $y= (x-3)^{\frac{1}{5}}$ .

Do đó: $y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}$ với mọi $x \ne 3$ .

Lời Bình:

Lời giải trên mắc sai lầm ở chỗ đó là, khi viết $y= \sqrt[5]{x-3} = (x-3)^{\frac{1}{5}}$ thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp $x-3>0 \Leftrightarrow x>3$ , không phải đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ .

Như vậy, nếu chú ý đến điều đó thì chúng ta cần xét hai trường hợp: $x>3$ và $x \leq 3$ .

Lời giải cụ thể cho hai trường hợp trên như sau:

TH1: Với mọi $x>3$ , ta có $y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}$ .

TH2: Với mọi $x<3$ , ta viết lại $y= \sqrt[5]{x-3} = \sqrt[5]{-(3-x)} = - \sqrt[5]{3-x}$ .
Khi đó do $x<3$ nên $3-x>0$ , vì vậy ta viết được $y= \sqrt[5]{x-3} = -(3-x)^{\frac{1}{5}}$ .

Suy ra: $y' = -\dfrac{1}{5} (3-x)^{\frac{-4}{5}}(3-x)' = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(3-x)^4}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}$ . Vậy kết quả trường hợp này như kết quả trường hợp 1.

Lưu ý: Chúng ta chỉ mới xét $x<3$ để có được $3-x>0$ khi đó mới viết từ dạng căn sang lũy thừa.

TH3: Do đó chúng ta cần xét thêm trường hợp $x=3$ .
Trường hợp này phải tính đạo hàm sao đây ?

Oh. Chỉ còn cách dùng định nghĩa đạo hàm thôi. Tính đạo hàm tại một điểm ! (Xem lại lý thuyết và thử làm xem nhé)
Vấn đề này tỏ ra phức tạp rồi, phải không ?
Vậy còn có cách nào để giải quyết bài toán này nhẹ nhàng hơn không ?

———————–

Cách 2: Một cách khác để khắc phục nhược điểm của cách tính trên (chưa tính được đạo hàm hàm số tại $x=3$ ).

Với mọi $x \in \mathbb{R}$ , ta có: $y = \sqrt[5]{x-3} \Leftrightarrow y^5 = x-3$ .

Xem $y$ là hàm số hợp (theo biến $x$ ), lấy đạo hàm hai vế, ta được:
$(y^5)' = (x-3)' \Leftrightarrow 5y^4.y' = 1$ . (*)

Trường hợp $y= 0 \Leftrightarrow x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3$ thì (*) vô nghiệm.

Trường hợp $x \ne 3 \Leftrightarrow y \ne 0$ , ta có: $y' = \dfrac{1}{5y^4}$ .

Kết luận: $y'= \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}$ với mọi $x \ne 3$ . Tại $x=3$ hàm số không có đạo hàm.

Nhận xét: Qua Ví dụ này các em học sinh cần lưu ý khi viết một biểu thức dạng căn thức (bậc $n$ ) sang dạng lũy thừa cần lưu ý đến điều kiện của biểu thức (dương).

like-math

Thứ Năm, 19 tháng 1, 2012

Bài toán đạo hàm hàm số căn bậc n

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét