Thứ Sáu, 20 tháng 1, 2012

Một bài toán nhân lượng liên hợp


http://www.scribd.com/doc/78930523/Cau-11


Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Thứ Năm, 19 tháng 1, 2012

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số


  • Chuyên đề của thầy Nguyễn Tất Thu:    Tải
  • Chuyên đề của thầy Trần Duy Sơn :   Tải
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Dãy số trong kỳ thi học sinh giỏi


  • Các đề toán về dãy số trong kỳ thi olympic:  Tải
  • Dãy số trong kỳ thi học sinh giỏi :   Tải
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Bất đẳng thức



 
Lúc trước có mượn link của báo Toán học và Tuổi trẻ, nhưng hiện nay các link đó bị die có lẽ do xóa tại máy chủ. Hiện nay tôi sẽ cố gắng làm lại riêng từng bài một mong các bạn ủng hộ


1.ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ ĐỂ GIẢI TOÁN

2. ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN 

3.XÂY DỰNG CÁC BĐT TỪ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC

4.KHAI THÁC THÊM MỘT BĐT QUEN THUỘC ĐỂ GIẢI TOÁN

5. BĐT CAUCHY-BUNYAKOVSKY-SCHWARZ

6.BĐT SCHUR VÀ ỨNG DỤNG

7. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

8.PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN THỪA TRỪ

9.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CM BĐT CÓ CHỨA BIẾN Ở MẪU
10. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
11. KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Tuyển tập chuyên đề hình giải tích


TuyenTapChuyenDeHinhGiaiTichPhang

Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

PP hằng số biến thiên

pp hằng số biến thiên
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Hệ pt hoán vị vòng quanh

pp hệ pt hay
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

36936523-TIẾP-TUYẾN-CỦA-CAC-ĐƯỜNG-CONIC
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Các bài tập về nhận dạng tam giác

nhận dạng tam giác
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Đề thi đại học

Bài 1:Giải hệ phương trình trên R:
\left\{ \begin{array}{l} 4{x^2}{y^2} - 6xy - 3{y^2} + 9 = 0\\ 6{x^2}y - {y^2} - 9x = 0 \end{array} \right.
 Bài 2: Giải phương trình: (\sin 2x - \cos 2x)\tan x - \frac{{\sin 3x}}{{\sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).

Bài 3: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số  phân biệt đôi một, biết:

  1. Trong số đó luôn có mặt hai chữ số 3; 4.

  2. Trong số đó luôn có mặt hai chữ số 3; 4 và số đó là một số lẻ.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H; B(4; 0), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm A biết H thuộc đường thẳng (d):4x - 5y = 0 và A thuộc đường thẳng (\Delta ):x - y + 1 = 0.

Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm M, P lần lượt là  trung điểm của SA và BC, điểm Q thuộc cạnh SB: SQ = 2QB.

  1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MPQ) lần lượt với các mặt phẳng (ABCD), (SAD) và (SCD).

  2. Gọi N là trung điểm cạnh CD. Hãy tìm giao điểm của đường thẳng MN với (SPD); SN với (MPQ).

  3. Xác định thiết diện của chóp cắt bởi mặt phẳng (NPQ).

                    (Yêu cầu: mỗi ý (1), (3) vẽ 1 hình; ý (2) vẽ hai hình)

Bài 6: Cho các số thực dương x;y;z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

                            P = \frac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \frac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}.

Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN) CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Nhắc lại:
* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm a, b:
\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} (1)
- Cách viết tương đương: a+b \geq 2\sqrt{ab}. (2)
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý a, b, ta có:
- a^2+b^2 \geq 2ab (Vì \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0.
* Một số kết quả thường dùng:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0.
Thật vậy, vì a>0 nên \dfrac{1}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2.
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0.
Thật vậy, vì a.b>0 nên \dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2.
————————————
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi x>1 ta có: 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng \dfrac{1}{x-1} nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x-1. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1 (*)
Vì x>1 nên x-1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương 4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}, ta có:
4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}
Hay 4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4. (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3.
Vậy 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3 (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}
\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}
\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2} (do x-1>0)
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.
——-
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng (x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]
Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là (\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab. (3)
Quay lại bài tập này, với mọi x\in [1; 5] thì x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0. Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)
\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x). (đpcm)
Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3.
——————
BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. 4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}.
2. 1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2
3. Với mọi góc 0^o < \alpha < 90^o, ta có: \tan\alpha + \cot\alpha \geq 2.
4. (3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3].
5. (2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2].
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:

Bài toán đạo hàm hàm số căn bậc n

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm của hàm số căn bậc n (n \in \mathbb{N}, n \geq 1
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y= \sqrt[5]{x-3} \\[4pt] trên tập xác định của nó ?
Lời giải (sai):
* Tập xác định: D= \mathbb{R}
* Ta có: y= (x-3)^{\frac{1}{5}}.
Do đó: y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.
Lời Bình:
Lời giải trên mắc sai lầm ở chỗ đó là, khi viết y= \sqrt[5]{x-3} = (x-3)^{\frac{1}{5}} thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp x-3>0 \Leftrightarrow x>3, không phải đúng với mọi x \in \mathbb{R}.
Như vậy, nếu chú ý đến điều đó thì chúng ta cần xét hai trường hợp: x>3 và x \leq 3.
Lời giải cụ thể cho hai trường hợp trên như sau:
TH1: Với mọi x>3, ta có y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}.
TH2: Với mọi x<3, ta viết lại y= \sqrt[5]{x-3} = \sqrt[5]{-(3-x)} = - \sqrt[5]{3-x}.
Khi đó do x<3 nên 3-x>0, vì vậy ta viết được y= \sqrt[5]{x-3} = -(3-x)^{\frac{1}{5}}.
Suy ra: y' = -\dfrac{1}{5} (3-x)^{\frac{-4}{5}}(3-x)' = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(3-x)^4}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}. Vậy kết quả trường hợp này như kết quả trường hợp 1.
Lưu ý: Chúng ta chỉ mới xét x<3 để có được 3-x>0 khi đó mới viết từ dạng căn sang lũy thừa.
TH3: Do đó chúng ta cần xét thêm trường hợp x=3.
Trường hợp này phải tính đạo hàm sao đây ?
Oh. Chỉ còn cách dùng định nghĩa đạo hàm thôi. Tính đạo hàm tại một điểm ! (Xem lại lý thuyết và thử làm xem nhé)
Vấn đề này tỏ ra phức tạp rồi, phải không ?
Vậy còn có cách nào để giải quyết bài toán này nhẹ nhàng hơn không ?
———————–
Cách 2: Một cách khác để khắc phục nhược điểm của cách tính trên (chưa tính được đạo hàm hàm số tại x=3).
Với mọi x \in \mathbb{R}, ta có: y = \sqrt[5]{x-3} \Leftrightarrow y^5 = x-3.
Xem y là hàm số hợp (theo biến x), lấy đạo hàm hai vế, ta được:
(y^5)' = (x-3)' \Leftrightarrow 5y^4.y' = 1. (*)
Trường hợp y= 0 \Leftrightarrow x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3 thì (*) vô nghiệm.
Trường hợp x \ne 3 \Leftrightarrow y \ne 0, ta có: y' = \dfrac{1}{5y^4}.
Kết luận: y'= \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.  Tại x=3 hàm số không có đạo hàm.
Nhận xét: Qua Ví dụ này các em học sinh cần lưu ý khi viết một biểu thức dạng căn thức (bậc n) sang dạng lũy thừa cần lưu ý đến điều kiện của biểu thức (dương).
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:
Đăng ký: Bài đăng (Atom)